જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $a = i - j + k$,$b = i - 3j + 4k$ અને $c = 2i - 5j + 3k$ દ્વારા આપવામાં આવેલ હોય તેવા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ કેટલું થશે?

વિધાન $1$: જો બિંદુઓ $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ અને $(1, 1, 1)$ સમતલીય હોય,તો $z = 2$.
વિધાન $2$: જો $4$ બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ સમતલીય હોય,તો ચતુષ્ફલક $PQRS$ નું ઘનફળ $0$ થાય.

જો $\bar{u}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \bar{v}=3 \hat{\imath}+\hat{k}$ અને $\bar{w}=\hat{\jmath}-\hat{k}$ હોય,તો $\bar{u} \times \bar{v}, \bar{u}+\bar{w}$ અને $\bar{v}+\bar{w}$ ને ધાર તરીકે ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો. ($\text{ઘન એકમ}$ માં)

ધારો કે એક સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $1 \text{ cu. unit}$ છે,જેની ધાર $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો $\theta$ એ ધાર $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

જો સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ અસમતલીય હોય,તો $\frac{[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]}{[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]}=$

ધારો કે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ $V$ ઘનફળ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ત્રણ સંગામી ધાર દર્શાવે છે. તો જે સમાંતરફલકની સંગામી ધાર $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ અને $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તેનું ઘનફળ $..........\,V$ છે.